系统分析与控制小抄

这是我的系统分析与控制期末小抄,是对老师课件的总结。原文由formula编写,可点击此处下载。

# 1 Laplace变换

傅里叶变换的定义formula。绝对可积是充分不必要条件。

拉普拉斯变换的定义formula;记号:formula

常见函数的拉普拉斯变换阶跃函数formula斜坡函数formula指数函数formula正弦函数formula

拉普拉斯变换的性质线性性质formula微分性质,若formula,则formula,否则formula积分性质formula延迟性质formula终值定理formula初值定理formula

有理函数的分解:对于formula,1) 均为单实根,令formula,则formula,2) 多重实根,令formula,则formula

商的求导法则formulaformula

# 2 时域分析

# 2.1 稳定性

定义:系统偏离平衡状态后,在没有外力作用下,其状态能自动地回到平衡状态。令formula为暂态分量,稳定则formula为什么需要稳定性? 由系统内在特性造成的输出响应必须逐渐衰减并最终消失,从而才可能专心地跟踪输入信号或者抑制干扰影响。

稳定性分析:特征方程的根,1) 都在左半平面,则稳定,2) 虚轴上有单根,其他根都在左半平面,则临界稳定,3) 由半平面有根或者虚轴上有重根,则不稳定

传递函数零初始条件formula,其中formula是输出,formula是输入。特征方程的根就是传递函数的极点。

# 2.2 结构图

闭环传递函数:令formula是前向传递函数,formula是负反馈传递函数,则闭环传递函数formula

结构图的等效与化简:略。

劳斯判据(根稳定性判别方法):对于6次方程formula,如下列出前两行:

formula formula formula formula formula
formula formula formula formula 0

然后按照formula,填充其它行。第一列符号改变次数等于右半平面根数。若劳斯判据第一列无符号改变,则根稳定。

劳斯判据第一列为0:如果某一行第一个元素为0,其余元素不为0,将0代替为一个小的正数formula;如果某一行第一个元素为0,其余元素也为0,则有关于原点对称的根,这时使用辅助多项式,求其微分作为新的一行,例子如下。

formula 6 6
formula 4 4
formula 0 0

这时辅助多项式为formula,则formula,故最后的表格如下。

formula 6 6
formula 4 4
formula 8 0
formula 4

# 2.3 稳态性能

产生原因:反馈控制系统需要误差信号来产生控制作用。如果稳态时仍然需要控制作用,就必须有非零的误差以维持控制作用(formula)。从而产生了稳态误差。

计算稳态误差的前提:系统是稳定的。

输入稳态误差和干扰稳态误差计算如下。

struct diagram

formula

阶跃输入下的稳态误差formula,其中formula为位置品质系数。

斜坡输入下的稳态误差formula,其中formula为速度品质系数。

斜坡输入下的稳态误差formula,其中formula为加速度品质系数。

稳态误差总结:令

formula

阶跃 斜坡 抛物线
formula formula formula formula
formula formula formula formula
formula formula formula formula

formula越多,稳态性能越好。

# 2.4 动态性能

超调量formula,其中formula是稳态值不是期望值。

过渡过程时间formula是进入稳态值5%范围的时间。

一阶系统定量分析:传递函数为formula。单位阶跃响应为formulaformula

二阶系统定量分析:传递函数为formulaformula则稳定。

formula

formula

高阶系统的近似简化:设传递函数为formula,1) 零极点相消formula很小时对消,结果为formula,右半平面的零、极点不能对消;2) 远极点消除,对于formula很小的情况,可消除该极点,结果为formula消除时稳态放大倍数应不变

# 3 状态方程

状态方程的一般形式

formula

状态方程之间的转换:状态变量的选取不唯一,从而状态方程不唯一(传递函数是唯一的)。如果formula,则新状态方程的各个参数变为formula

状态方程到传递函数的转换:初态必须是0,即formula,此时formula;否则formula

传递函数到状态方程的转换:设formula。若formula,则

formula

formula

formula,则formula

非线性系统的线性化

formula

选择工作点formula,令formula

步骤

  1. 列写原始微分方程
  2. 建立状态方程
  3. 确定工作点
  4. 建立增量的线性化方程

# 4 频域分析

频域分析的特点:稳定的线性系统不改变输入正弦信号的频率,只改变输入正弦信号的幅值和相位。

与时域响应的关系:将传递函数中的formula替换为formula即可得到频率特性。

一阶系统的频率特性formula,故幅频formula,相频formula。可以看出:1) 低频信号,幅值衰减少,相位偏移少,能够基本复现输入信号;高频信号,幅值衰减很多,相位偏移很大,信号变形很厉害。2) 定义formula,它是输出下降到formula处的频率,formula大则可通过的频率成分越多,惯性小,输出过渡过程也越快;formula小则惯性大。

极坐标图formula,作出极坐标的参数方程。

Bode图:横坐标采用10倍频程formula。上方是幅频图,纵坐标formula。下方是相频图。

一阶系统的Bode图:1) formula,则formula;2) formula,则formula,3) formula,则formula

Bode图的性质

  1. 采用频率的对数坐标,展宽了视野
  2. 作图容易,可利用折线段近似
  3. 频率特性乘除对应于幅频特性曲线加减
  4. 频率特性的纵向放大、缩小对应于幅频特性曲线的上移和下移
  5. 简化了频率特性的倒数关系

基本环节的Bode图:1) 比例环节formula,则formula;2) 积分环节formula,则formula;3) 微分环节formula,则formula

二阶震荡环节的Bodeformulaformula,则

formula

formula

formula

  1. formula,则formula;2) formula,则formula;3) formula,则formula

一般传递函数的Bode图:一般地,formula,则formulaformula。对下方的传递函数:

formula

幅频特性作图步骤如下:

  1. 化标准形
  2. 低频部分:找formula的点,由该点向左画斜率为formula的斜线
  3. 求转折频率formula,并由小到大排序,formula
  4. 从低频渐近线开始自左向右画,碰到formula就拐弯,分母环节向下弯,分子环节向上弯,一阶环节斜率变20,二阶环节变40
  5. 修正(圆滑过渡)

相频特性作图步骤如下:

  1. formula水平线
  2. 算出转折点formula
  3. 粗画相频特性formula

稳定裕量:令formula剪切频率,即formulaformula的值,则稳定裕量formula。一般而言,formula是可接受的范围。formula太小,稳定裕量小,超调大,振荡多;formula太大,稳定裕量大,动态响应慢,过渡过程时间长。

# 5 采样控制系统

# 5.1 概念

采样控制系统的特性:采样周期越小,采样信号越接近原始信号。香农定律:为了完美地重构信号,需要按照不小于2倍带宽采样率对信号进行采样。数学描述:formula

系统分类

  • 连续控制系统:连续信号
  • 离散控制系统:离散信号
  • 采样控制系统:连续、离散信号
  • 数字控制系统:连续、离散信号,量化效应

采样系统的数学模型

formula

# 5.2 Z变换

Z变换formula

常见Z变换:1) 对于formula,有formula;2) 对于formula,有formula

Z变换性质:1) 线性性质formula;2) 延迟性质formula;3) 超前性质formula;4) 初值定理formula;5) 终值定理formula

# 5.3 离散与连续之间的转换

连续系统对应的离散化模型

formula

连续传递函数到离散传递函数的转换

formula

离散状态方程到传递函数的转换:与连续类似。

formula

离散传递函数到状态方程的转换:与连续类似。

# 5.4 稳定性

离散系统稳定性条件:特征方程的根均在单位圆内。先作替换formula,再用劳斯判据。

# 5.5 稳态性能

阶跃输入下的稳态误差:输入formulaformula,其中formula为位置品质系数。

斜坡输入下的稳态误差:输入formulaformula,其中formula为速度品质系数。

斜坡输入下的稳态误差:输入formulaformula,其中formula为加速度品质系数。

总结

formula 阶跃 斜坡 抛物线
formula formula formula formula
formula formula formula formula
formula formula formula formula

# 5.6 动态性能

近似等效法

formula

# 6 现代控制理论

极点配置: 设formula,要适当选取formula,通过改变formula的运动规律,间接改变了输出formula的运动规律。设期望的极点为formula,则可求解formula得到formula

能控性formula满秩则能控。

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