微积分复习笔记(上)

这篇文章是我数学复习计划的一部分,内容参考清华大学出版社的《高等微积分教程》上册和姚家燕老师在微积分课上的讲义。

# 1 实数系与实数列的极限

# 1.1 实数系

引入了上界下界有界无界的概念。

还引入了最大值最小值上确界(最小上界)formula下确界formula的概念。

确界定理:有上界的非空数集必有上确界,有下界的非空数集必有下确界。

上确界的刻画formulaformula的上界,且formula。同样也有下确界的刻画。

# 1.2 数列极限的基本概念

数列极限formula。则称数列formula有极限formulaformula

# 1.3 收敛数列的性质

收敛数列有以下性质:

  1. 唯一性;
  2. 有限韧性:添加、删除或改变有限项,不改变收敛性与极限值;
  3. 均匀性:数列formula收敛于formula它的任意子列收敛于formula
  4. 有界性;
  5. 局部保序:formula,则
    1. formula
    2. formula
  6. 局部保号:上述数列formulaformula常数列可得到的推论。

极限遵守四则运算法则。此外还有夹逼原理formulaformula,则formula收敛且formula

增长速度:formula

平均性:formula

# 1.4 单调数列

引入了单调递增单调递减)、严格单调递增严格单调递减)的概念。

单调有界定理:单调递增有上界的数列必收敛,单调递减有下界的数列必收敛。

由此可定义自然对数formula。且有formula

# 1.5 Stolz定理

引入了趋向于formula、趋向于formula和趋向于formula的概念。

Stolz定理:设数列formula严格递增趋于formulaformula

# 1.6 关于实数系的几个基本定理

下列结论等价:

  1. 确界定理;
  2. 单调有界定理;
  3. 区间套定理formula满足formulaformula,则formulaformula
  4. 列紧性:有界数列必有收敛子列;
  5. formulaCauchy数列,若formula。数列收敛当且仅当它为Cauchy数列。

# 2 函数,函数的极限与连续

# 2.1 函数

引入了映射定义域值域的概念。定义域和值域均为数集的映射称为函数

定义了函数的四则运算及映射的复合单射满射双射的概念。对于双射还可以定义其逆映射

函数的基本性质有:

  1. 有界性;
  2. 周期性;
  3. 奇偶性;
  4. 单调性。

严格单调函数为单射。严格单调函数的反函数与原来的函数有同样的单调性。

基本初等函数有:

  1. 常数函数;
  2. 幂指对函数;
  3. 三角函数;
  4. 反三角函数。

基本初等函数经过有限次四则运算和复合后得到的函数称为初等函数

# 2.2 函数极限的概念

对于formula,定义了formula-领域formulaformula-去心领域formula

formula为非空数集,formula,如果formula,则称formulaformula极限点

刻画:设formula为非空数集,formula,则formulaformula的极限点formula存在极限为formula的数列。

函数极限的定义:设formula为非空数集,formulaformula的极限点,formulaformula为函数。若formula,则称当formula趋近于formula时,formula趋近于formula,记为formula。有如下几种情况:

  1. formula,有如下三种情况:
    1. formula,则我们有formula
    2. 右极限formula,则我们有formula
    3. 左极限formula,则我们有formula
  2. formula,极限及其左右极限,共9种情况;
  3. formula,共12种情况。

函数在某点(包括formula)极限存在等价于其左右极限存在且相等。

# 2.3 函数极限的性质

函数极限与数列极限的关系:设formula为非空数集,formulaformula的极限点,formula为函数,而formula,那么formulaformula中极限为formula的任意数列formula,有formula

函数极限有以下性质:

  1. 唯一性;
  2. 局部有界性:对于formula,则formula
  3. 局部保序:对于formula
    1. formula
    2. formula
  4. 局部保序:上述formula恒取formula可得到的推论。

有5条定理:

  1. 函数极限遵守四则运算和广义四则运算法则(包含了formula);
  2. 此外也有夹逼原理formulaformula,则formula
  3. 复合函数极限:设formula为非空数集,formulaformula的极限点而formula,且函数formula,满足formulaformula,则formula
  4. 单调有界定理:
    1. 左极限:设formula为单调函数,formula存在。若formula递增,formula是上确界。若formula递增,formula是下确界。还有与之类似的右极限的情况;
    2. 左右极限:设formula为单调函数而formulaformula存在且有限。若formula递增,formula。若formula递减,formula
  5. Cauchy准则:设formula为非空数集,formula为其极限点,formula为函数,则极限formula存在且有限formula

# 2.4 无穷小量与无穷大量

极限为0的函数被称为无穷小量。若formula,则记formula。极限为无穷的函数称为无穷大量

formulaformula

  1. 如果formula,则称formula时,formulaformula高阶无穷小量,记作formula
  2. 如果formula,则称formula时,formulaformula同阶无穷小量
  3. 如果formula,则称formula时,formulaformula等价无穷小量,记作formula
  4. formula如果formula,则称formula时,formula为**formula阶无穷小量**。

等价无穷小量的代换是求极限的方法之一。无穷大量也有类似的定义。

# 2.5 函数的连续与间断

formula为数集,formula为函数。若formula,则称formula在点formula连续。若formulaformula的每点连续,则称formulaformula的连续函数。这样连续函数的集合记为formula。若formulaformula的极限点,则formula在点formula连续formula

formula,称formula在点formula左连续;若formula,称formula在点formula右连续

有如下的定理:

  1. 函数在某点(内点)连续formula函数在该点左、右连续;
  2. formula为数集,formula,则formula在点formula处连续formulaformula中收敛到formula的任意数列formula,均有formula
  3. formula为数集,formulaformula
    1. 局部有界:若formula在点formula处连续,则formula
    2. 局部保序:设formula在点formula处连续
    3. formula
    4. formula
    5. 局部保号:上述formula恒为0的特殊情况;
  4. 四则运算法则:连续函数的四则运算也连续;
  5. 复合法则:连续函数函数的复合也连续。

初等函数在其定义域内连续。

间断点的分类:

  1. formula存在且有限,但异于formulaformulaformula处无定义,称点formulaformula可去间断点
  2. 若左右极限存在且有限,但不相等,称改点为formula跳跃间断点
  3. 可去间断点及跳跃间断点合称为第一类间断点,其余的称为第二类间断点,它的至少一个单侧极限不存在或无限。

单调函数只能有第一类间断点(否则与单调有界定理矛盾)。

# 2.6 闭区间上连续函数的性质

有如下的定理:

  1. 连续函数介值定理:若formula介于formulaformula之间,则formula。推论:零点存在定理:若formula,则formula
    1. formula为区间,formula,则formula为区间;
    2. formula为区间,formula为单射,则formula为严格单调函数;
    3. formula为区间,formula为单调函数,则formula是区间。
  2. 反函数定理:若formula为区间,formula为单射,则反函数formula存在且连续;
  3. 最值定理:若formula,则formula有最值。

# 3 函数的导数

# 3.1 导数与微分的概念

formula为函数,formula。若formula存在且有限,则称formula在点formula可导,该极限称为formula在点formula处的导数,记作formula。若formulaformula处处可导,则称formulaformula上可导,由此得到的函数formula称为formula导函数。此外还有单侧导数

  1. 左导数:formula
  2. 右导数:formula

函数在某点可导formula函数在该点左右导数存在有限且相等。若函数在某点可导,则函数在该点连续。

formula为函数,formula。若formula,使得formula,则称formula在点formula可微,此时还称线性函数formulaformula在点formula微分,记作formula。如果函数formulaformula处处可微,则称formulaformula上可微。

函数在某点可微formula函数在该点可导。此时formula

# 3.2 求导法则

有如下定理:

  1. 导数的四则运算:若formula在点formula处可导,则:
    1. formula
    2. formula
    3. formula,若formula。推论:formula
  2. 复合函数求导的链式法则formula
  3. 反函数求导法则:设函数formula为双射,在点formula可导且formula,若formula在点formula处连续,则formula在点formula处可导,且formula
  4. 初等函数在其定义域内内部可导,且导函数也为初等函数。

隐函数求导:在两变量的方程formula中,将formula看成formula的函数,对formula求导后解出formula

参数方程求导formula

# 3.3 高阶导数

formula的**formula阶导数**记作formula。若formula formula阶可导且formula连续,那么称formulaformula阶连续可导。这样的函数的集合记为formula

有如下定理:

  1. 初等函数在其定义域内内部无穷可导;
  2. 高阶导数的四则运算:若formulaformula阶可导,则:
    1. formula
    2. formula

# 4 导数的应用

# 4.1 微分中值定理

极值的定义:设formula为数集,formulaformula,若formula,则称formulaformula极小值点,称formula极小值,类似可以定义极大值点极大值

有如下定理:

  1. Fermat(费马):设formulaformula的极值点,若formulaformula处可导,则formula。导数为0的点称为驻点;
  2. Darboux(达布)导数介值定理:若formulaformula上可导,而formula严格介于formula之间,则formula
    • 推论:若formula在某个区间上可导,则其导函数的像集为区间。若formula恒不为0,则它恒正或恒负。
  3. Rolle(罗尔):若formulaformula内可导且formula,则formula
  4. Lagrange拉格朗日中值定理:若formulaformula内可导,则formula
    1. formulaformula内可导,则formula为常值函数formula
    2. formulaformula内可导,若formula,则formula
    3. 反函数定理:若formulaformula内可导且formula不为0,则formula为单射且反函数可导。
  5. Cauchy柯西中值定理:设formulaformula内可导,则formula

# 4.2 L'Hospital(洛必达)法则

formula,函数formula可导,而formula恒不为0,且formula,若formula,或formula,则我们有formula。极限过程换成formulaformula仍成立。

# 4.3 Taylor(泰勒)公式

有如下定理:

  1. 带Peano(皮亚诺)余项的Taylor公式:设formula为整数,formula,函数formulaformula阶可导,且在点formulaformula阶可导。则当formula时,formula。当formula时,该公式也称为Maclaurin(麦克劳林)公式;
  2. 带Lagrange余项的Taylor公式:设formula为整数,formula在(a,b)上formula阶可导,那么formula严格介于formula之间,使得formula
  • 推论:如果formulaformula上的formula阶导数恒为0,则formula为次数不超过formula的多项式。

# 4.4 函数的增减性与极值问题

对于函数的增减性,有如下定理:

  1. formulaformula内可导,则formula递增formulaformula递减formula
  2. formulaformula内可导,则formula严格递增formulaformulaformula的任意子区间不恒为0;formula严格递减formulaformulaformula的任意子区间不恒为0。

对于函数的极值,有如下定理:

  1. formulaformula上可导,若formula,则formulaformula的最大值点,也为极大值点;若formula,则formulaformula的最小值点,也为极小值点;
  2. formula可导,formula,且formula存在,若formula,则formulaformula的极大值点;若formula,则formulaformula的极小值点;若formula,无法判断。

# 4.5 凸函数

凸函数的定义:设formula为区间,而formula为函数:

  1. formula,则称formulaformula上的下凸函数,简称凸函数
  2. formula,则称formulaformula上的严格下凸函数,也称严格凸
  3. formula,则称formulaformula上的上凸函数,简称凹函数
  4. formula,则称formulaformula上的严格上凸函数,也称严格凹

有如下定理:

  1. 函数formula为区间formula上的凸函数formula,若formula,则formula
  2. 函数formula为区间formula上的凸函数formula,当formula时,均有formula
  3. formulaformula内可导,则formula为凸函数formulaformula上递增;
  4. formulaformula上二阶可导,则formula为凸函数formula
  5. formulaformula上二阶可导,则formula为严格凸函数formulaformulaformula的任意子区间上不恒为0。

函数凹凸性发生改变的点为拐点

# 4.6 函数作图

渐近线的定义:设曲线formula由方程formula给出:

  1. formulaformula,则称formula为曲线formula水平渐近线
  2. formulaformula,则称formula为曲线formula竖直渐近线
  3. formulaformula,则称formula为曲线formula的斜渐近线。

# 5 Riemann(黎曼)积分

# 5.1 Riemann积分的概念

formula为函数:

  1. 分割:称formulaformula的分割,它将formula分成内部不相交的小区间formula。令formula,步长formula
  2. 取点:称formula为分割formula的取点,其中formula。此时称formulaformula带点分割
  3. Riemann和:对formula的带点分割formula,令formula,称为formula关于带点分割formula的Riemann和;
  4. Riemann积分:若formula,对于formula的任意带点分割formula,当formula。此时记formula,称为formulaformula上的定积分,简记为formula,并且称formulaformula上可积,否则称之为不可积。

formulaformula上所有可积函数的集合。若formula,则formulaformula上有界。

判断函数可积的Darboux准则:设formula为有界函数,而formulaformula的分割。对于formula,定义formula,Darboux下和formula,Darboux上和formula。有如下定理:

  1. formula为有界函数,而formulaformula的两个分割,则formula。由此定义下积分formula,上积分formula,我们有formula
  2. formula为有界函数,而formulaformula的分割,则formula
  3. Darboux:设formula为有界函数,则下述结论等价:
    1. formula
    2. formula,存在formula的分割formula使得formula
    3. formula
    4. formula

利用振幅刻画函数的可积性:设formula为非空数集,而formula为有界函数,对于任意非空子集formula,定义formula,并称之为formulaformula上的振幅。则有formula。有如下定理:

  • formula

一致连续函数:设formula为非空数集,formula为函数,若formula,当formula时,有formula,则称formula一致连续。有如下定理:

  1. 函数formula为一致连续formula对于formula中任意的数列formula,若formula,则formula
  2. formula,则formula为一致连续;

可积函数类有:

  1. formula
  2. formula为有界函数并且存在有限多个点间断,则formula
  3. formula单调,则formula

Lebesgue判别准则:称数集formula为零测度集,若formula,存在一列开区间formula,使formula。区间formula上的有界函数formula为Riemann可积formula的所有间断点构成的集合是零测度集。

# 5.2 Riemann积分的性质

有如下性质:

  1. 积分的线性性:设formula,则formulaformula
  2. 积分区间的可加性:设formula,则formulaformula上可积formula分别在formula上可积,此时formula
  3. 保序性:若formulaformula,则formula。特别地,若formula,则formula
    1. 保号性:若formula非负,则formula
    2. 严格保号性:若formula非负,则formula
    3. 严格保序性:若formulaformula,则formula,等号成立formula
  4. formula,则formulaformula
  5. formula,则formula

有如下定理:

  1. Cauchy不等式:若formula,则formula
  2. 经典的Hölder不等式:若formula,则formula,且等号成立formula为不依赖formula的常数。积分Hölder不等式:若formulaformula,则formula
  3. 积分第一中值定理:若formula,则formula
  • 广义积分第一中值定理:若formulaformula不变号,则formula

# 5.3 微积分基本定理

原函数的定义:设formula为区间,formula为函数,若formulaformula上连续,在formula内部可导且formula,则称formulaformula的一个原函数

有如下定理:

  1. formulaformula,定义formula,则formula,若formula在点formula连续,则formula在点formula处可导且formula,若formula仅有单侧连续,则formula有相应的单侧导数;
    1. formula,则formulaformula,即formulaformulaformula上的一个原函数;
    2. formulaformula可导,formula,令formula,则formula可导且formula
  2. Newton-Leibniz公式:设formulaformula的一个原函数,则formula

# 5.4 不定积分

将定义在区间上的函数formula的原函数的一般表达式称为formula不定积分,记作formula

有如下性质:

  1. formula均为formula的原函数,则formula,故formulaformula为常数);
  2. formula,则formula
  3. 线性性:formula

有跳跃间断点的函数没有原函数。

有如下的积分法:

  1. 第一换元积分法(凑微分):formula
  2. 第二换元积分法:formula
  3. 分部积分法:formula

有理函数的不定积分:有理真分式最终可以分解成如下4种最简单的分式之和:(formulaformula,经过变量替换,可以归结成下述6种最简单的分式的不定积分(formula):formula,这些不定积分有公式可用。

三角有理函数的不定积分:设formula为关于formula的有理函数,则formula

某些无理函数的不定积分:考虑不定积分formula

  1. formulaformula
  2. formula:先配方,再用三角函数将原来的不定积分转化为三角有理函数的不定积分。

# 5.5 定积分的计算

有如下定理:

  1. 定积分的换元积分公式:若formula,则formula
  2. 定积分的分部积分公式:若formula,则formula
  3. 积分的对称性:formula,若formula为奇函数,则formula;若formula为偶函数,则formula
  4. 周期连续函数的定积分:如果formula是周期为formula的周期函数,则formula
  5. 定积分与数列极限:设formula,而formulaformula的一列分割,使得formula,记formula,则对任意点formula,均有formula
  6. 带积分余项的Taylor:设formula,若formula,则formula

# 5.6 积分的应用

积分有如下的应用:

  1. 平面面积:
    1. 直角坐标系:设formula,则由曲线formula与直线formula,所围平面区域的面积formula
    2. 直角坐标系下的参数方程:设曲线formula的方程为formula,其中formula连续,formulaformula为严格递增,定义formula,则由formulaformula轴所围区域的面积formula
    3. 极坐标系:设曲线弧formula的极坐标方程为formula,其中formula为连续函数,则曲线弧formula与射线formula所围成的区域的面积等于formula
  2. 曲线弧长:
    1. 直角坐标系下的参数方程:若曲线formula的参数方程为formula,其中formula为连续可导且导数不同时为0,这样的曲线称为光滑曲线,则弧长为formula
    2. 直角坐标系:若曲线formula的方程为formula,其中formula连续可导,则弧长为formula
    3. 极坐标系:若曲线formula的极坐标系方程为formula,其中formula连续可导,则弧长为formula
  3. 曲线曲率:曲线曲率formula,其中formula是切线与formula轴正向的夹角:
    1. 直角坐标系下的参数方程:formula
    2. 直角坐标系:formula
    3. 极坐标系:formula
  4. 旋转体体积:
    1. formula轴旋转:formula
    2. formula轴旋转:formula
  5. 旋转体的侧面积,绕formula轴旋转:
    1. 直角坐标系下的参数方程:formula
    2. 直角坐标系:formula
    3. 极坐标系:formula

# 6 广义Riemann积分

# 6.1 广义Riemann积分的概念

formula,定义formulaformula上的广义积分formula。当formula,而函数formulaformula的领域内无界,此时称formulaformula奇点,相应的广义积分称为瑕积分

广义积分继承了正常的定积分的性质,比如说线性性,保序性,Newton-Leibniz公式,分部积分,换元法。

# 6.2 广义积分收敛性的判定

有如下定理:

  1. Cauchy准则:设formula,则formula收敛formula
  2. 比较法则:设formulaformula的任意闭子区间上可积且formula,若formula收敛,则formula收敛;若formula发散,则formula发散。有如下推论:
    1. formulaformula的任意闭子区间上可积,则formula发散formula
    2. formulaformula的任意闭子区间上可积且formula,若formula,则formulaformula同敛散;若formulaformula收敛,则formula收敛;若formulaformula发散,则formula发散;
    3. formulaformula的任意闭子区间上可积且formula,若formula,则formula收敛;若formula,则formula发散;
    4. formulaformula的任意闭子区间上可积且formula,若formula,则formula收敛;若formula,则formula发散;
  3. formulaformula的任意闭子区间上可积,若formula收敛,则formula收敛;若formula收敛,则称formula绝对收敛;若formula收敛但不绝对收敛,则称formula条件收敛
  4. 积分第二中值定理:若formula,而formulaformula上单调,则formula
  5. formulaformula的任意闭子区间上可积:
    1. Abel判别准则:若formula收敛,formula单调有界,则formula收敛;
    2. Dirichlet判别准则:若formula有界,而formula单调且formula,则formula收敛。

formula函数formulaformula收敛当且仅当formula。有如下性质:

  1. formula。推论:formula
  2. formula。特别地,formula

formula函数formulaformula收敛当且仅当formula。有如下性质:

  1. formula
  2. formula
  3. formula

# 7 常微分方程

# 7.1 常微分方程的基本概念

等式formula被称为常微分方程。方程中导数的最高阶称为方程的,若formula为线性函数,则称之为线性常微分方程。多个常微分方程组联立成常微分方程组。在区间formula上满足formula的函数formula称为该方程在formula上的一个,称formula为解的存在区间。如果该解含formula独立常数,则称为方程的通解。若不含常数,则称之为特解。没有包含在通解中的特解称为奇解。formula阶常微分方程一般需要formula个条件确定通解中的常数,这类条件称为定解条件

# 7.2 一阶常微分方程的初等解法

一阶常微分方程的一般形式为formula。一阶线性常微分方程的典型形式为formula。如果formula则称之为一阶线性齐次常微分方程,否则称之为一阶线性非齐次常微分方程。

有如下定理:

  1. 一阶线性非齐次常微分方程的通解为方程的特解与相应的齐次方程的通解之和;
  2. formula的通解为formula
  3. formula的通解为formula(可通过常数变易法求)。

有如下求解方法:

  1. 可分离变量的一阶常微分方程,formula:当formula时,formula。此外当formula时,formula也为方程的解;
  2. formula:首先作变换formula,再利用分离变量法;
  3. 齐次型一阶常微分方程,formula:首先作变换formula,再利用分离变量法;
  4. formula:设直线formula的交点为formula,作变换formula,则方程化为齐次型一阶常微分方程;
  5. Bernoulli方程,formula:作变换formula,则方程化为一阶线性常微分方程。

# 7.3 可降阶的高阶常微分方程

有如下求解方法:

  1. formula:求formula次原函数;
  2. formula:令formula,由formula解出formula,再对formulaformula次原函数;
  3. formula:令formula,原方程变为formula,解出formula,再对formula应用分离变量法。

# 7.4 高阶线性常微分方程解的结构

formula阶线性常微分方程的标准形式为formula,其中formula均为区间formula上的连续函数,函数formula被称为该方程的非齐次项。当formula时,相应的方程为齐次方程。有如下基本结论:

  1. 存在与唯一:formula,在区间formula上均存在唯一的解formula使得formula
  2. 齐次方程的解集:齐次方程的所有解组成的集合是一个formula维的线性空间;
  3. 非齐次方程的解集:非齐次方程的通解就是非齐次方程的特解与齐次方程的通解之和。

线性相关与线性无关:设函数formula,若存在不全为0的实数formula,使得formula,则称formulaformula线性相关,否则称formulaformula线性无关

Wronsky(朗斯基)行列式:设formula。定义formula,并称为formulaWronsky行列式

有如下定理:

  1. formulaformula上线性相关,则formula
  2. formulaformula阶齐次线性常微分方程formula上的解,则它们在formula上线性相关formula(证明充分性仅需要formula)。

formula阶齐次线性常微分方程的formula个线性无关解被称为该方程的基本解组

# 7.5 常系数高阶线性常微分方程

formula阶线性常系数常微分方程的标准形式为formula,其中formula,函数formula被称为该方程的非齐次项。当formula时,相应的方程为齐次方程。

二阶线性常系数齐次方程:formulaformula,称formula为特征方程,称其解为特征根。令formula

  1. formula,则有两个不同的实特征根formula,方程通解为formula
  2. formula,方程通解为formula
  3. formula,则有两共轭复特征根formula,方程通解为formula

考虑formula阶线性常系数齐次常微分方程formula,其中formula。其特征多项式被定义为formula。假设该特征多项式不同的特征根为formula,重数为formula,则齐次方程的复值通解为formula,其中formula。为得到实值通解,只需要针对复数值特征根formula,在上式中将formula及其共轭替换成formula的实部和虚部,并让formula为任意的实常数。

二阶线性常系数非齐次方程:由公式formula可得非齐次方程的一个通解。

特殊的二阶线性常系数方程的求解:formulaformula次多项式。有以下情况:

  1. formula不是齐次方程的特征根,则会有特解formula为待定formula次多项式;
  2. formula是齐次方程的一重特征根,则会有特解formula为待定formula次多项式;
  3. formula是齐次方程的二重特征根,则会有特解formula为待定formula次多项式。

两个有用的命题:

  1. formula为实值函数,formula为复值函数,而复值函数formula满足非齐次方程formula,令formula,则formula
  2. 假设formula,则formula为非齐次方程formula的特解。

Euler方程:一般的Euler方程为formula,其中formula为常数,作变量替换formula

# 7.6 一阶线性常微分方程组

一阶线性常微分方程组可以写成formula。该方程组满足初值条件formula的解存在且唯一。用向量和矩阵可以重新表述为formula,其解为formulaformula为Volterra积分。

一阶线性常微分方程组解的结构:

  • formula个方程组成的一阶线性齐次常微分方程组的解集是formula维线性空间;
  • formula为该齐次方程组的formula个线性无关的解,定义formula称为齐次方程组的基解矩阵,则其通解为formula,其中formula为常数列向量;
  • formula为方程组的formula个解,令formula,称为formula的Wronsky行列式;
  • formula,于是formula
  • formula或者恒为0,或者恒不为0。

有如下定理:

  1. 基解矩阵满足formula
  2. 齐次方程组的formula个解formula线性相关当且仅当formula(证明充分性仅需要formula);
  3. 一阶线性非齐次常微分方程组的通解为该方程组的一个特解与相应的齐次方程组的通解之和。

一阶线性常系数常微分方程组的求解:formula,其解为formula

formulaformula的相应齐次方程组的基解矩阵,则非齐次方程组的通解为formula

一阶线性常系数齐次方程组的求解:formula,特征方程为formula,考虑formula的情形:

  1. formula有两个不相等的实特征根formula,那么相应特征向量formula为实向量且线性无关,通解为formula,其中formula为任意实常数;
  2. formula有两个相等的实特征根formula,相应特征向量formula为实向量,则formula为方程组的解,与之线性无关的解可以取为formula,其中formula是一个待定列向量,它的每个元素为次数formula的多项式;
  3. formula有两个不相等的共轭复特征根formula,相应的特征向量formula也为共轭的复向量且线性无关。通解为formula,其中formula为任意复常数,也可表示成formula,其中formula为任意实常数。

一般情形(formula):假设formula的不同特征根为formula,其重数分别为formula,对于formula,存在formula个形如formula的线性无关的解,其中formulaformula阶列向量,其元素为次数formula的多项式,待定系数即可求解。

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