线性代数复习笔记(上)

这篇文章是我数学复习计划的一部分,内容参考清华大学出版社的《线性代数与几何(第2版)》上册。

# 1 预备知识

formulaformula的子集,且满足:

  1. 至少含有一个非零数;
  2. 对加减乘除运算封闭。

formula数域

所有的数域都含有formula

# 2 行列式

首先引入 formula阶排列逆序数formula奇排列偶排列的概念。

有如下的3个定理:

  1. 对换操作改变排列的奇偶性。
  2. 所有的formula阶排列中(formula),奇偶各占一半。
  3. formula阶排列通可过对换操作转为自然排列,奇偶次数与排列的奇偶性一致。

然后引入n阶行列式的概念:

formula

行列式有如下的性质:

  1. 转置值不变;
  2. 数乘某行等于该数乘行列式;
    • 推论:某一行全为0的行列式为0;
  3. 行列式对行的加法具有分配律;
  4. 对换两行,行列式反号;
  5. 两行成比例,行列式为0;
  6. 把一行的倍数加到另一行,行列式不变。

引入余子式formula代数余子式formula的概念。则有:

formula

因而行列式可以按行或按列展开。

克莱姆法则。对于线性方程组:

formula

若其系数行列式不为0,则方程组有唯一解:

formula

其中formula为系数行列式,formula为常数项替换formulaformula列得到的行列式。

对于齐次线性方程组系数行列式非0,则只有0解。

# 3 矩阵

# 3.1 高斯消元法

线性方程组的初等变换有:

  1. 用非零数乘方程;
  2. 将一个方程的formula倍加到另一个方程;
  3. 交换两方程。

与之对应的是对增广矩阵的变换,称为矩阵的行初等变换

高斯消元法:通过初等变换使增广矩阵个变为如下的阶梯形矩阵:

formula

有如下情况:

  1. formula,无解;
  2. formulaformula,有唯一解;
  3. formulaformula,有无穷多解,其中formula称为自由变量。

对于齐次线性方程组:

formula

如果formula,则一定有非零解。当formula时,方程组有非0解formula系数行列式formula

# 3.2 矩阵的运算

引入了矩阵元素零矩阵单位矩阵纯量矩阵上(下)三角矩阵的概念。

定义了矩阵的加法、数乘、乘法。并满足:

  1. 有零元
  2. 有单位元
  3. 乘法结合律
  4. 左分配律和右分配律

定义了矩阵的转置formula。引入了对称矩阵反对称矩阵的概念。转置满足:

  1. formula
  2. formula
  3. formula
  4. formula

矩阵的多项式满足交换律:formula

# 3.3 逆矩阵

formula

对于formula阶方阵formula,若formula,则formula可逆的formulaformula逆矩阵。若不存在这样的formula,则formula不可逆的。有左逆就有右逆。逆矩阵唯一且满足:

  1. formula
  2. formula
  3. formula

定义伴随矩阵:

formula

formula可逆formulaformula可逆时:

formula

formula

  1. formula可逆,则formula有唯一解formula
  2. formula不可逆formula有非0解。

# 3.4 分块矩阵

引入了分块矩阵的概念,并讨论了其加法、数乘、转置和乘法。对于乘法formulaformula的列划分需要与formula的行划分一致)。

# 3.5 矩阵的初等变换

矩阵的行初等变换和矩阵的列初等变换统称为矩阵的初等变换

单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。它们是:

  1. formulaformula乘以第formula行;
  2. formula:第formula行的formula倍加到第formula行;
  3. formula:交换第formula行和第formula行。

初等矩阵都是可逆的。

用初等矩阵左乘矩阵相当于做初等行变换,用初等矩阵右乘矩阵相当于做初等列变换。

若矩阵formula可以由矩阵formula经过一系列初等变换得到,则formulaformula相抵,记作formula。这是一种等价关系。

任何一个矩阵都与形如formula的矩阵相抵,称为相抵标准形。有如下几条推论:

  1. 对于formula,存在一系列formula阶初等矩阵formulaformula阶初等矩阵formula,使得:

formula

  1. 对于formula,存在可逆矩阵formula和可逆矩阵formula,使得:

formula

  1. 对于formulaformula可逆formula可表示成有限个初等矩阵的乘积。

由于formula,因此不断对formula进行初等行变换,使子块formula化作formula,则子块formula就化作了formula,否则formula不可逆。

同样分块矩阵也有初等变换。

# 4 几何空间中的向量

# 4.1 向量及其运算

引入了向量(既有方向又有大小的几何解释)、向量的相等反向量零向量单位向量的概念。

定义了向量的加法、减法和数乘。均满足线性空间的要求。

formula共线formula存在不全为0的数formula,使formula

formula共线formula存在不全为0的数formula,使formula

# 4.2 仿射坐标系

引入了仿射坐标系(三维)、坐标向量(又称基础向量)、坐标轴坐标平面坐标轴的概念。

根据坐标向量的位置关系,可分为右手仿射坐标系左手仿射坐标系

三个向量formula共面formula

直角坐标系是坐标向量两两垂直且是单位向量的仿射坐标系。引入了方向角和方向余弦的概念。三个方向角不独立,满足:

formula

# 4.3 数量积、向量积与混合积

定义数量积formula。满足:

  1. 交换律
  2. 对加法的分配律
  3. 可提出因子
  4. 正定性

在仿射坐标系formula下,formula,其数量积:

formula

其中的矩阵如下表,被称为度量矩阵

formula

formula

定义向量积formula的方向为与它们垂直的右手系方向,模为formula。满足

  1. 反交换律:formula
  2. 可提出因子
  3. 对加法的分配律

在右手直角坐标系formula中,向量积可表示为:

formula

formula

定义混合积formula。满足:

  1. formula
  2. formula

其几何意义是平行六面体体积。在右手直角坐标系中,混合积可表示为。

formula

# 4.4 平面与直线

# 4.5 距离

# 5 向量空间

# 5.1 数域formula上的formula维向量空间

引入了向量(有序数组的抽象解释)、分量行向量列向量零向量的概念

定义了向量的相等加法数乘,均满足线性空间的要求。

# 5.2 向量组的线性相关性

定义了线性组合线性表出线性相关线性无关

有如下的定理:

  1. formula维向量formula线性相关formula有向量可被其余向量线性表出;
  2. formula维向量formula线性无关而formula线性相关formula可由formula线性表出,且表示法唯一;
  3. formula维向量formula线性相关formula有非零解,其中formula
  4. formulaformula维向量formula线性相关formula
  5. formula中任意formula个向量必定线性相关;
  6. formula,构造formulaformula维向量formula则:
  • formula线性相关formula线性相关;
  • formula线性无关formula线性无关

# 5.3 向量组的秩

引入了向量组的线性表处、向量组的等价的概念。

有如下的定理:

  1. formula可由formula线性表出,且formula,则formula线性相关;
  2. formula可由formula线性表出,且formula线性无关,则formula

向量组的等价是一种等价关系。引入了极大线性无关组(向量组的线性无关的部分,如再添加元素,都会使之线性相关)的概念。有如下的定理:

  • 向量组的极大线性无关组的元素个数都相等。

因而引入了向量组的秩的概念。有如下的定理:

  1. formula可由formula线性表出formula
  2. 等价的向量组的秩相等。

# 5.4 矩阵的秩

引入了矩阵的行秩列秩的概念。有如下的定理:

  1. 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩;
  2. 矩阵的行秩等于列秩。

进而引入了矩阵的秩的概念。

  1. formula,而formula均为可逆矩阵,则formula
  2. 相抵标准型唯一;
  3. formula相抵formula
  4. 矩阵的秩等于该矩阵的非零子式的最高阶数。

秩有如下的性质:

  1. formula
  2. formula
  3. formula
  4. formula
  5. formula
  6. formula,则存在列满秩矩阵formula和行满秩矩阵formula,使formula满秩分解)。

# 5.5 齐次线性方程组

对于formula个未知量的齐次线性方程组:

  1. formula有非零解formula
  2. formula只有零解formula

对于齐次线性方程组,其解的线性组合也是解。其解集的极大线性无关组称为基础解系

formula的基础解系含有formula个向量。

# 5.6 非齐次线性方程组

formula有解formula

非齐次线性方程组的通解为特解加上对应的齐次线性方程组基础解系的线性组合。

# 6 线性空间

# 6.1 数域formula上的线性空间

引入了线性空间线性相关线性无关线性组合线性表出向量组的等价的概念。有如下定理(自4.2和4.3复制过来):

  1. formula维向量formula线性相关formula有向量可被其余向量线性表出;
  2. formula维向量formula线性无关而formula线性相关formula可由formula线性表出,且表示法唯一;
  3. formula可由formula线性表出,且formula,则formula线性相关;
  4. formula可由formula线性表出,且formula线性无关,则formula

还引入了维度formula的概念。有如下定理:

  • 如果线性空间formula中有formula个线性无关的向量,且formula中任何向量可被其线性表出,那么formula且它们是formula的一组基。

因而引入了坐标自然基的概念。

formulaformulaformula的两组基,若:

formula

可写成:

formula

上述矩阵称为由基formula到基formula过渡矩阵。有如下定理:

  • 设由基formula到基formula的过渡矩阵为formula,则formula可逆。如果一向量在两组基的坐标分别是formula,则formula

# 6.2 线性子空间

引入了子空间平凡子空间零子空间和本身)、解空间化零空间formula列空间formula、向量组生成的子空间的概念。有如下定理:

  1. formula是线性空间formula的非空子集,formulaformula的子空间formulaW对加法和数乘封闭;
  2. formula,则formula,基础解系构成一组基;
  3. formula,则formula,化为阶梯形矩阵主元对应的列构成一组基;
  4. formula
    1. formula
    2. formula

引入了子空间的的概念。有如下的定理:

  1. 子空间的交与和也是子空间;
  2. formula是有限维线性空间formula的子空间,则formula的任何一组基可以扩充为formula的一组基;
  3. formula是有限维线性空间formula的子空间,则formula

如果formula任一向量在子空间的分解形式唯一,则formulaformulaformula直和formula

  1. formula是直和formula零向量表示方法唯一formula(可推广到formula个子空间的直和);
  2. formulaformula的子空间,则必存在formula的子空间formula,使formula

# 6.3 线性空间的同构

保持线性关系的从一个线性空间到另一个线性空间的双射叫做同构映射,两个线性空间同构。同构映射有如下的性质:

  1. 把零元素映射为零元素,负元素映射为负元素;
  2. 保持线性组合不变;
  3. 保持线性相关性不变;
  4. 将基映射为基;
  5. 复合映射仍为同构映射(同构是一种等价关系)。

有如下定理:

  1. formula维线性空间必同构于formula上的formula维向量空间;
  2. 两个有限维线性空间同构formula其维数相等。

# 6.4 欧几里得空间

满足对称性、线性性和正定性的从两个向量到实数的映射称为内积formula,定义了内积的实线性空间称为欧几里得空间

由此可以定义长度formula单位向量单位化

柯西-施瓦茨不等式formula

由此可以定义夹角formula、正交和正交向量组。有如下定理:

  1. 正交向量组线性无关;
  2. 正交向量组个数不会超过维度。

由此引入了正交基标准正交基的概念。有如下的定理:

  1. formulaformula维欧氏空间formula中的一组标准正交基,设formula的坐标为formula,则formula
  2. formulaformula维欧氏空间formula中的一组标准正交基,对formula,有formula

施密特正交化:对任意formula个线性无关的向量formula,先将其转换为一个正交向量组formula,其中,

formula

然后将其单位化formula,可得到标准正交向量组formula

formula,如formula,则称formula正交矩阵。有如下定理:

  1. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;若过渡矩阵是正交矩阵且一组基是标准正交基,则另一组基也是标准正交基;
  2. 正交矩阵的性质是:
    1. 其行(列)向量组成正交向量组,且每个向量都是单位向量;
    2. 其行列式值为formulaformula
    3. 其逆矩阵还是正交矩阵;
    4. 其乘积还是正交矩阵。

对任意formula阶可逆实矩阵formula,存在一个formula阶正交矩阵formula和一个formula阶主对角元素为正数的上三角阵formula,使formula,称为QR分解,这个分解唯一。存在性由施密特正交化可得。

引入了向量与子空间的正交、子空间与子空间的正交正交补formula的概念。有如下定理:

  • formulaformula维欧几里得空间formula的子空间,则formula

# 7 线性变换

# 7.1 线性变换的定义和基本性质

线性空间上保持线性关系的变换称为线性变换线性算子,其集合记为formula。有如下的性质:

  1. 将零向量映射为零向量;
  2. 将负向量映射为负向量;
  3. 保持线性组合不变;
  4. 将线性相关的向量组映射为线性相关的向量组。

引入了线性变换的数乘的概念。满足线性空间的要求,即formula构成线性空间。

又引入了线性变换的乘积可逆逆变换多项式的概念。

# 7.2 线性变换的矩阵

有如下定理:

  • formulaformula维线性空间formula的线性变换,formulaformula的一组基,则formula中任意向量formula的像formula由基的像formula完全确定。

formula

formula阶矩阵formula叫做线性变换formula在基formula下的矩阵。有如下的定理:

  1. 设线性变换formula在基formula下的矩阵是formulaformulaformula的坐标分别为formula,则formula
  2. formulaformula维线性空间formula的一组基,对给定的formula个向量formula都存在线性变换formula,使得formula
  3. formulaformula维线性空间formula的一组基,formula是任一formula阶方阵,则有唯一的线性变换formula满足:$$\sigma(\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_n})=(\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},\cdots,\vec{\alpha_n})\mathbf{A}$$
  4. formulaformulaformula维线性空间,则formulaformula同构。

这种一一对应关系除了保持了线性运算,也保持了乘法运算。有如下定理:

  1. formula为上述同构映射,则对formula,有formula
  2. formulaformula可逆formula可逆,且formula

# 7.3 线性变换的核与值域

全体像的集合称为值域,记作formula。被映射成零向量的向量的集合称为,记作formula。它们都是子空间。formula称为formula称为零度

有如下定理:

  1. formulaformula的一组基,formulaformula在这组基下的矩阵,则:
    1. formula
    2. formula的秩formula的秩。
  2. formula,则formula
  3. 对于有限维线性空间的线性变换formulaformula是单射formula是满射。

引入了不变子空间的概念。将formula的作用限制到formula上记作formula。不变子空间对于化简矩阵有着很重要的作用。

# 7.4 特征值与特征向量

formula,对于formula中的数formula,存在非零向量formula,使得formula,则formulaformula特征值formulaformula属于特征值formula特征向量

属于formula的特征向量的线性组合仍是属于formula的特征向量。它们构成特征子空间,其维数称为特征值formula几何重数。多项式formula称为线性变换formula特征多项式,它的根称为formula特征根。特征根的重数称为代数重数

类似地,还定义了矩阵的特征值、特征向量和特征多项式。求特征值和特征向量的步骤如下:

  1. 求出特征多项式formula的解,得到全部特征值;
  2. 分别把特征值代入到齐次线性方程组formula,其基础解系就是属于formula的特征向量。

有如下定理:

  1. formula,
    1. formula
    2. formula
  2. formula阶方阵可逆formulaformula个特征值全不为零;
  3. Hamilton-Cayley定理:设formulaformula的特征多项式,则formula,对于线性变换也有类似的结论。

# 7.5 相似矩阵

formula是两个formula阶方阵,如果存在formula阶可逆矩阵formula,使得formula,则称formula相似formula,记作formula

相似关系是一种等价关系。线性变换在不同基下的矩阵是相似矩阵。有如下性质:

  1. 相似矩阵的多项式相似;
  2. formula,则formula
  3. 相似矩阵,一个可逆,则另一个也可逆,且逆相似;
  4. 相似矩阵有相同的特征值和特征多项式;
  5. 相似矩阵有相同的迹和行列式。

接下来研究矩阵的相似对角化,有如下定理:

  1. formula阶方阵可对角化formulaformula个线性无关的特征向量;
  2. 不同特征值的特征向量线性无关;
  3. formula阶方阵formulaformula个互异的特征值formula,则formula可对角化,formula且可逆矩阵是由相应的特征向量作列向量构成的;
  4. formulaformulaformula个互异的特征值,formulaformula的属于formulaformula个线性无关的特征向量,formula,则formula也线性无关;
  5. formulaformula阶复方阵formula的特征值,则它的几何重数总不大于它的代数重数,即formula
  6. formulaformula阶复方阵,formula可对角化formula

接下来研究实对称矩阵的对角化。有如下定理:

  1. 实对称矩阵的特征值都是实数;
  2. formula阶实对称阵formula,总存在正交阵formula,使得formula是对角阵;
  3. 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交。

# 8 二次型

# 8.1 二次型

formula

如上形式称为formula二次型formula二次型的矩阵,它是对称矩阵。还引入了实二次型复二次型的概念。

formula是两个formula阶方阵,如果存在formula阶可逆矩阵formula,使得formula,则称formulaformula相合合同。这是个等价关系。

# 8.2 二次型的标准形

有下面3个方法化二次型为标准形:

  1. 主轴定理:任一实二次型formula,其中formula,存在正交线性替换formula,其中formula是正交矩阵,使得formula化为标准形,即formula,其中formulaformulaformula个特征值;
  2. 任何一个二次型都可通过可逆线性替换(配方法)化成标准形;
  3. 对每个实对称矩阵formula,存在初等矩阵formula,使得formula

对于方法3,构造一个formula的矩阵formula,对formula作一次列变换的同时,对formula作一次对应的行变换,当formula化作formula时,formula就化作formula

# 8.3 惯性定理和二次型的规范形

形如formula的二次型称为复系数的二次型的规范形;形如formula的二次型称为实二次型的规范形formula称为正惯性指数formula称为负惯性指数,差formula称为符号差

有如下定理:

  1. 任意一个复系数的二次型,总可以经过一个适当的可逆线性替换,化为规范形,且规范形唯一;
  2. 任意一个复数的对称矩阵相合于formula,其中formula是对称阵的秩;
  3. 惯性定理:任意一个实二次型,总可以经过一个适当的可逆线性替换,化为规范形,且规范形唯一;
  4. 任意实对称矩阵相合于对角阵formula,其中formula是对称阵的秩。

# 8.4 实二次型的正定性

formula是实二次型,对非零向量formula,恒有formula,则称实二次型正定,其矩阵称为正定矩阵

有如下性质:

  1. 二次型经过可逆线性替换,其正定性不变;
  2. 实对称矩阵正定formula所有特征值都是正的;
  3. 实二次型正定formula正惯性指数formula
  4. 实对称矩阵formula正定formulaformula相合;
  5. 实对称矩阵formula正定formula存在可逆矩阵formula,使得formula
  6. 实对称矩阵formula正定formula各阶顺序主子式大于零formula各阶主子式大于零。

类似地,可以引入半正定负定半负定不定的概念。

formula是半正定实二次型,等价于下列命题:

  1. 正惯性指数formulaformulaformula的秩;
  2. formula相合于formula
  3. 存在非满秩formula阶方阵formula,使得formula
  4. 所有特征值非负,且有零特征值;
  5. 所有主子式大于等于零,且有主子式等于零。
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